умирает молодым.
Менандр, древнегреческий поэт
ХVІІІ век завершился борьбой американских колоний против английского владычества и Великой французской революцией. Робеспьер, Марат, Сент-Жюст, Дантон и Карно шагнули с революционных площадей Парижа на страницы учебников истории. Но великие революции всегда начинались в тихих кабинетах ученых. Новое время требовало и нового мышления. Knowledge itself is power — знание — сила. Так писал английский философ Френсис Бэкон. Сначала начинают сомневаться в застывших формах логики Аристотеля, а затем отбрасывают консервативные формы устройства государства.
Несмотря на впечатляющие успехи математики: создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления, оставались неразрешенными фундаментальные проблемы. Первая — решения уравнения произвольной степени в радикалах. То есть с использованием четырех действий арифметики, возведения в степень и извлечения корня. Радикал, от лат. radix — «корень», отсюда название. Вторая — доказательства постулата о параллельности прямых, известного из школьного курса геометрии. Как известно, относительно легко решаются уравнения первой и второй степени. Несколько сложнее дело обстоит с уравнениями третьей и четвертой степени, но и для них итальянские математики Джероламо Кардано и Людовико Феррари нашли формулы. Попытки найти их для уравнений пятой и более высоких степеней оказались безуспешными. Задачу пытались решить выдающиеся математики Эйлер, Лагранж, Гаусс. Последний установил, что уравнение n-й степени имеет n корней, но это не приблизило решение. В то время никто не предполагал глубокой связи этих двух проблем.
Русский ученый Николай Лобачевский и венгерский Янош Больяи создали геометрию без постулата о параллельности, а молодой гений Франции Эварист Галуа начал штурм великой задачи алгебры. Их не поняли современники, все они пережили большую личную драму. Они были революционерами в науке и, как и многие первооткрыватели, испытали горечь непонимания и забвения. Но им мы обязаны последующими достижениям человеческого прогресса.
Ранним утром 30 мая 1832 г. крестьянин обнаружил молодого человека с раной живота. Это был Эварист Галуа. В больнице, придя в себя, он отказался от исповеди и вскоре скончался. На столе в его комнате в пансионе Фолтрие лежали рукописи, приведенные в порядок ночью накануне дуэли; в них излагалась теория, которая произведет революцию в математике.
Эварист Галуа родился 26 октября 1811 года в городке Бур-ля-Рен. Его отец Николя-Габриэль Галуа был образованным и обходительным человеком, пользовался уважением горожан и неоднократно избирался мэром. По политическим взглядам — республиканец. Интерес Галуа-сына к политике возник под влиянием его отца.
К 12 годам Эварист владел основами знаний по гуманитарным дисциплинам, знал латинский и древнегреческий языки. Для продолжения его образования отец выбрал королевский колледж Людовика Великого — Луи-ле-Гран. Это было известное учебное заведение. Здесь учились лидер якобинцев Максимилиан Робеспьер и великий писатель Виктор Гюго, который сражался с тиранией Наполеона III. Учебное заведение, призванное готовить опору монархии, воспитывало ее разрушителей. В 1823 г. в четвертый класс колледжа был зачислен Эварист Галуа.
Обучение в Луи-ле-Гран сводилось к заучиванию текстов древнегреческих и латинских авторов, писанию сочинений на выдуманные и оторванные от жизни темы. Хотя Эварист успешно закончил два класса, но администрация школы настояла, чтобы он остался на повторный курс во втором классе. Во французских школах принят обратный порядок нумерации классов. Чтобы отвлечься от скуки при повторении уже пройденного, Галуа стал посещать занятия по математике. Этой науке в колледже внимания не уделяли. Она даже не была внесена в список обязательных дисциплин.
Царица наук явилась в образе геометрии в учебнике Адриана Лежандра. В книге не просто строго излагалась на основе последних достижений педагогики классическая геометрия. Будущие сто лет школьники в Европе и России учились по учебникам пересказывающих «Начала геометрии» Лежандра. Пораженный красотой и логичностью геометрии Галуа проработал учебник за два дня. Он не только освоил классическую геометрию Эвклида, но изучил и тригонометрию. Еще два дня ушло на решение задач, предложенных для закрепления материала.
Изучив геометрию, Галуа берется за алгебру. Он начал изучать ее по монографии Жозефа Лагранжа «Решение численных уравнений». Здесь все оказалось гораздо сложнее, чем в геометрии Лежандра. Изучение современной ему алгебры заняло больше времени, но все равно поразительно мало. Ему понадобилось всего 10 дней на книгу Лагранжа, которая была рассчитана на подготовленного читателя. Но самое главное в том, что без посторонней помощи Галуа определил главную задачу. Почему нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Никто не сумел их найти или это невозможно в принципе? Ответа у Лагранжа не было.
Когда Галуа исполнилось 17 лет, он опубликовал свою первую работу «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях» в журнале Les annales de mathematique de Gergonne — одном из первых математических периодических изданий. Единственным препятствием на пути к успеху была необычайная форма изложения. Когда Галуа подал документы в самое престижное высшее учебное заведение Франции — Политехническую школу, — краткость решений и отсутствие каких-либо пояснений на устном экзамене привели к тому, что он не был принят. Через год предпринимается еще одна попытка, и снова на устном экзамене по математике логика его рассуждений осталась непонятной экзаменаторам. Двери учебного заведения, о котором он так мечтал, оказались закрытыми для него навсегда.
Политические водовороты после свержения Наполеона захватили и ученых. Революционеры в науке могли быть крайними реакционерами и оппортунистами в политике. Великий французский математик Пьер Лаплас был республиканцем, после прихода к власти Наполеона — министром внутренних дел, получил титул графа империи, а в 1814 г. голосовал за низложение императора. После реставрации Бурбонов стал пэром и получил титул маркиза. Еще один великий французский математик Огюстен Коши был ультрароялистом. После революции 1830 г. он предпочел уехать в эмиграцию. Вольно или невольно он сыграл роковую роль в судьбе Эвариста Галуа.
После неудачи с поступлением в Политехническую школу Галуа вынужден был начать учебу в Подготовительной. В апреле 1830 г. он публикует статью «Анализ одного мемуара об алгебраическом решении уравнений». В июне следует еще две статьи: «О решении численных уравнений» и «Из теории чисел». В этих работах уже появились те идеи, которые потом воплотятся в революцию в математике.
Свержение Бурбонов в 1830 г. сильно повлияло на Галуа. На митинге он познакомился с Дюшатле, членом республиканского «Общества друзей народа». Юноша присоединился к крайне радикальной, в чем-то даже экстремистской, части организации. Он, романтически настроенный, не видел, что во главе общества стоят прожженные интриганы, готовые ради власти на все.
В мае 1831 г. «Общество друзей народа» устроило банкет в честь важного события — парижский суд оправдал 19 членов организации. В зале ресторана Vendange de Bourgogne собрался цвет Парижа. На нем присутствовал и Александр Дюма-отец. Произносилось много речей, и вдруг прозвучал тост: «За Луи-Филиппа!», который стал королем. Не все поняли его двойной смысл, основанный на игре слов. Во французском языке предлог pour означает как «за», так и «для». При этом молодой человек в одной руке держал бокал, а в другой — кинжал. От этого смысл тоста становился достаточно ясным. Настолько, что Александр Дюма предпочел покинуть банкет, выпрыгнув через окно в сад. Молодым человеком был Эварист Галуа. Через несколько дней его арестовали, но вскоре освободили.
Во время второго ареста с ним в камере в тюрьме Сент-Пелажи сидел известный республиканец Франсуа Распай. Хотя он ничего не понимал в математике, но поддерживал Галуа в его научных трудах. Это было кстати, так как именно в это время Эварист получил отрицательный отзыв на свою работу от французского математика Симеона Пуассона. В своем отзыве профессор писал Галуа, что его «аргументация недостаточно ясна, и недостаточно развернута для того, чтобы мы могли судить о ее строгости». Будучи выдающимся специалистом, Пуассон занимался прикладной математикой, и проблемы алгебры его не интересовали. Да и разобраться в сжатом изложении было сложно. Эварист тяжело переживал, что на его публикации никто не откликнулся. В отчаянии он стал подозревать ученый мир в complot du silence — заговоре молчания. Отсюда глубокая депрессия, здоровье сильно ухудшилось, и он был переведен в тюремную больницу, а в апреле 1832 г. выпущен на свободу. Распай познакомил Галуа с девушкой. Эварист влюбился с первого взгляда. Встречался ли он с ней — доподлинно не известно. Важно другое. Из-за нее у него возникла ссора с одним из республиканцев. Метод разрешения был известен — дуэль. Участие в ней было question d'honneur — вопросом чести. Достоверно не известно с кем стрелялся Галуа. Долгое время произошедшая 30 мая дуэль воспринималась как провокация властей. В частности, выдвигались версии о том, что Эварист стрелялся из-за подкупленной полицией проститутки, что убивший его был провокатором. Александр Дюма писал в своих мемуарах, что Галуа был застрелен Пеше д'Эрбенвилем, одним из видных деятелей «Общества друзей народа». С другой стороны, есть основания полагать, что Галуа застрелил его старый товарищ Дюшатле. В любом случае версия о провокации отпадает, ибо ни д'Эрбенвиль, ни Дюшатле провокаторами не были. Какова была причина ссоры — не ясно, однако политики в этом деле не было. Версия же о полицейской провокации понадобилась лидерам республиканцев для использования похорон Галуа для разжигания беспорядков. Действительно, на его похороны 1 июня пришло около 2 тыс. человек, но выступления не получилось. В этот день умер генерал Ламарк. В день его похорон, 3 июня 1832 г., улицы Парижа покрылись баррикадами. Подвиги защитников баррикады Сен-Мери описаны в бессмертном произведении Виктора Гюго «Отверженные», но среди них Эвариста Галуа уже не было. Он был известен при жизни как неистовый республиканец, а обрел бессмертие как революционер в математике. Великим часто отводится короткий век. Когда он погиб, ему шел только 21-й год
В ночь перед дуэлью Эварист Галуа предчувствовал свою гибель, поэтому спешил насколько возможно изложить свои мысли и постарался привести свои бумаги в порядок. В письме своему другу Огюсту Шевалье он просил показать его работы немецким математикам Карлу Якоби и Карлу Гауссу. Но им работы Галуа остались неизвестными.
Когда Галуа было всего 16 лет, он прочел работы норвежского математика Нильса Абеля, который доказал, что формулы решения уравнений пятой степени в радикалах в принципе не существует. Основной заслугой Галуа является формулировка комплекса идей, к которым он пришел в связи с продолжением исследований о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений, начатых Лагранжем, Абелем и Гауссом. Для решения столь сложной задачи потребовалось разработать специальный аппарат и ввести в научный оборот совершенно новые понятия. В первую очередь — группы. С ним мы сталкиваемся в операциях над числами. В результате умножения или сложения на множестве целых чисел мы получаем тоже целое число. Такая операция называется групповой. Кстати, на множестве целых чисел деление не является групповой операцией, так как в результате такого действия мы можем получить дробь. Величайшей заслугой Галуа является распространение понятия группы на объекты любой природы. Во всем известном кубике Рубика поворот слоев можно рассматривать как групповую операцию на множестве состояний (положений) слоев. С помощью понятия группы доказано, что кубик всегда можно собрать за конечное число операций. Этот достаточно экзотический пример показывает универсальность подходов групповых методов. От алгебры и кристаллографии до теории кодирования и развлекательных головоломок.
Используя понятие группы, Галуа определил необходимые и достаточные условия разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Решив сложную, но частную задачу алгебры, он создал совершенно новый математический аппарат, но, что еще более важно, сформулировал идеи, реализация которых не закончилась и в наше время.
Судьба оказалась немилостивой к Галуа-республиканцу, но была более снисходительной к Галуа-математику. Его друг Огюст Шевалье направил бумаги погибшего французскому математику Жозефу Лиувиллю. Он разобрался в ходе доказательств и понял огромное значение открытия для алгебры. В журнале Journal de mathematiques et appliquees в 1846 г. впервые были полностью опубликованы работы Галуа. Но признание пришло позже, через 30 лет.
Немецкий математик Бернгард Риман свою геометрию тоже без постулата о параллельности. Возник вопрос о связи преобразований пространства с новыми геометриями и об их количестве. В 70-х гг. XIX в. немецкий математик Феликс Клейн высказал предположение, что каждая геометрия определяется своей группой симметрий. Так была установлена фундаментальная связь между алгеброй, геометрией и свойствами пространства. Здесь проходила граница математики и начиналась физика.
Связь между симметрией пространства и законами сохранения установила немецкий математик Эмми Нетер. Она доказала фундаментальную теорему математической физики, названную ее именем, что из однородности пространства и времени вытекают законы сохранения импульса и энергии. Гений Галуа, создавший теорию групп, дал в руки физиков мощнейший аппарат изучения свойств материи от квантовой механики до теории относительности Эйнштейна. Существенное ограничение однородного распределения материи во Вселенной, налагаемое на уравнения общей теории относительности, позволило русскому ученому Александру Фридману предсказать расширение Вселенной. Аппаратом его исследований стала теория групп Галуа.
Перечисленного вполне хватило бы, чтобы имя Галуа, создателя новой высшей алгебры, было вписано в историю математики золотыми буквами. Но плодотворность идей Галуа этим не ограничивается. Без понятия группы, а затем поля и кольца невозможна кибернетика и теория информации. В их основе лежит фундаментальный принцип симметрии, описываемый теорией групп. Особенно важной она оказалась для специалистов, обычно не афиширующих принадлежность к данной профессии. Речь идет о несколько специфической науке — криптографии. Это греческое слово означает тайнопись, а наука эта занимается созданием кодов и их дешифровкой. И не только для рыцарей плаща и кинжала, а и для всех тех, для кого необходима защита от несанкционированного доступа. В первую очередь, для банков. Теоретической основой современной криптографии является алгебра, созданная Галуа. И такой список применения идей французского гения математики можно продолжать еще долго.
Галуа был революционером в жизни и революционером в науке. Он заложил основы современной математики, на десятилетия опередил развитие науки, его жизнь и научное творчество были наполнены драматическими событиями. Он был Прометеем. За несколько часов до своей гибели он осветил путь, по которому пошло несколько поколений ученых и инженеров. Ему мало было дано при жизни, но очень много после смерти. Математика вечна. И в ней навсегда осталась группа Галуа и все то, что названо его именем.
