Той, кого люблять боги,
помирає молодим.
Вісімнадцяте століття завершилося боротьбою американських колоній проти англійського панування й Великою французькою революцією. Робесп’єр, Марат, Сент-Жюст, Дантон і Карно ступили з революційних майданів Парижа на сторінки підручників історії. Але великі революції завжди починалися в тихих кабінетах науковців. Нові часи вимагали й нового мислення. Knowledge itself is power — знання — сила. Так писав англійський філософ Френсіс Бекон. Спочатку починають сумніватися в застиглих формах логіки Аристотеля, а потім відкидають консервативні форми устрою держави.
Незважаючи на вражаючі успіхи математики: створення аналітичної геометрії, диференціального та інтегрального числення, залишалися нерозв’язаними фундаментальні проблеми. Перша — розв’язання рівняння довільного степеня в радикалах. Тобто з використанням чотирьох дій арифметики, зведення в степінь і знаходження кореня. Радикал, radix латиною — «корінь», звідси назва. Друга — докази постулату про паралельність прямих, відомого зі шкільного курсу геометрії. Як відомо, відносно легко розв’язуються рівняння першого і другого степеня. Дещо складніші справи з рівняннями третього і четвертого степеня, але й для них італійські математики Джероламо Кардано і Людовико Феррарі знайшли формули. Спроби знайти їх для рівнянь п’ятого й вищих степенів виявилися безуспішними. Задачу намагалися розв’язати видатні математики Ейлер, Лагранж, Гаусс. Останній встановив, що рівняння n-го степеня має n-корінь, але це не наблизило до знаходження відповіді на це питання. У той час ніхто не передбачав глибокого зв’язку цих двох проблем.
Російський учений Микола Лобачевський та угорський Янош Больяи створили геометрію без постулату про паралельність, а молодий геній Франції Еварист Галуа розпочав штурм великого завдання алгебри. Їх не зрозуміли сучасники, всі вони пережили тяжку особисту драму. Вони були революціонерами в науці й, як багато першовідкривачів, відчули гіркоту нерозуміння й забуття. Але їм ми завдячуємо подальшими досягненнями людського прогресу.
Вранці 30 травня 1832 р. селянин знайшов хлопця з раною живота. Це був Еварист Галуа. У лікарні, прийшовши до тями, він відмовився від сповіді й невдовзі помер. На столі в його кімнаті в пансіоні Фолтріє лежали рукописи, впорядковані вночі напередодні дуелі; у них викладалася теорія, що здійснить революцію в математиці.
Еварист Галуа народився 26 жовтня 1811 року в містечку Бур-ля-Рен. Його батько Ніколя-Габріель Галуа був освіченою та ввічливою людиною, користувався повагою городян і неодноразово обирався мером. За політичними поглядами — республіканець. Інтерес Галуа-сина до політики виник під впливом його батька.
До 12 років Еварист володів основами знань із гуманітарних дисциплін, знав латину і давньогрецьку. Для продовження його освіти батько вибрав королівський коледж Людовика Великого — Луї-ле-Гран. Це був відомий навчальний заклад. Тут навчалися лідер якобінців Максиміліан Робесп’єр і великий письменник Віктор Гюго, який боровся з тиранією Наполеона III. Навчальний заклад, покликаний готувати опору монархії, виховував її руйнівників. 1823 р. до четвертого класу коледжу зарахували Евариста Галуа.
Навчання в Луї-ле-Гран зводилося до завчання текстів давньогрецьких і латинських авторів, писання творів на вигадані й відірвані від життя теми. Хоч Еварист успішно закінчив два класи, але адміністрація школи наполягла, щоб він залишився на повторний курс у другому класі. У французьких школах прийнятий зворотний порядок нумерації класів. Щоб відволіктися від нудьги під час повторення вже пройденого, Галуа почав відвідувати заняття з математики. Цій науці в коледжі уваги не приділяли. Її навіть не внесли до списку обов’язкових дисциплін.
Цариця наук постала в образі геометрії в підручнику Адріана Лежандра. У книжці не просто викладалася на основі останніх досягнень педагогіки класична геометрія. Наступні сто років школярі в Європі та Росії навчалися за підручниками, що переказували «Початки геометрії» Лежандра. Вражений красою й логічністю геометрії, Галуа опрацював підручник за два дні. Він не лише освоїв класичну геометрію Евкліда, а й вивчив тригонометрію. Ще два дні знадобилося на розв’язання задач, запропонованих для закріплення матеріалу.
Вивчивши геометрію, Галуа береться за алгебру. Він почав вивчати її за монографією Жозефа Лагранжа «Розв’язання чисельних рівнянь». Тут усе виявилося набагато складніше, ніж у геометрії Лежандра. Вивчення сучасної йому алгебри зайняло більше часу, але все одно вражаюче мало. Йому знадобилося лише десять днів на книжку Лагранжа, розраховану на підготовленого читача. Але найголовніше в тому, що без сторонньої допомоги Галуа визначив головну задачу. Чому не можна вивести формули для розв’язання рівнянь п’ятого степеня й вище? Ніхто не зумів їх знайти, чи це неможливо у принципі? Відповіді в Лагранжа не було.
Коли Галуа виповнилося 17 років, він опублікував свою першу працю «Доказ однієї теореми про періодичні безперервні дроби» в журналі Les annales de mathematique de Gergonne — одному з перших математичних періодичних видань. Єдиною перешкодою на шляху до успіху була незвичайна форма викладу. Коли Галуа подав документи до найпрестижнішого вищого навчального закладу Франції — Політехнічної школи, стислість розв’язань і відсутність будь-яких пояснень на усному іспиті призвели до того, що його не прийняли. Через рік робить ще одну спробу, і знову на усному екзамені з математики логіка його міркувань залишилася незрозумілою екзаменаторам. Двері навчального закладу, про який він так мріяв, виявилися закритими для нього назавжди.
Політичний вир після повалення Наполеона захопив і учених. Революціонери в науці могли бути крайніми реакціонерами й опортуністами в політиці. Великий французький математик П’єр Лаплас був республіканцем, після приходу до влади Наполеона — міністром внутрішніх справ, отримав титул графа імперії, а 1814 р. голосував за повалення імператора. Після реставрації Бурбонів став пером та отримав титул маркіза. Ще один великий французький математик Огюстен Коші був ультрароялістом. Після революції 1830 р. він зволів виїхати в еміграцію. Вільно чи мимоволі він відіграв фатальну роль у долі Евариста Галуа.
Після невдачі зі вступом до Політехнічної школи Галуа був змушений почати навчання в Підготовчій. У квітні 1830 р. він публікує статтю «Аналіз одного мемуару про алгебраїчне розв’язання рівнянь». У червні ще дві статті: «Про розв’язання чисельних рівнянь» і «З теорії чисел». У цих працях уже з’явилися ті ідеї, які потім втіляться в революцію в математиці.
Повалення Бурбонів 1830 р. сильно вплинуло на Галуа. На мітингу він познайомився з Дюшатле, членом республіканського «Товариства друзів народу». Юнак приєднався до вкрай радикальної, в чомусь навіть екстремістської частини організації. Романтично налаштований, він не бачив, що на чолі товариства стоять інтригани-пройдисвіти, готові заради влади на все.
У травні 1831 р. «Товариство друзів народу» влаштувало банкет на честь важливої події — паризький суд виправдав 19 членів організації. У залі ресторану Vendange de Bourgogne зібрався цвіт Парижа. На ньому був присутній і Олександр Дюма-батько. Виголошувалося багато промов, і раптом прозвучав тост «За Луї-Філіппа!», який став королем. Не всі зрозуміли його подвійний зміст, що ґрунтувався на грі слів. У французькій прийменник pour означає як «за», так і «для». При цьому хлопець в одній руці тримав келих, а в другій кинджал. Від цього зміст тосту ставав досить ясним. Настільки, що Олександр Дюма зволів залишити банкет, вистрибнувши через вікно в сад. Хлопцем був Еварист Галуа. Через кілька днів його заарештували, але невдовзі звільнили.
Під час другого арешту з ним у камері у в’язниці Сент-Пелажі сидів відомий республіканець Франсуа Распай. Хоч він нічого не розумів у математиці, але підтримував Галуа в його наукових працях. Це було доречним, оскільки саме в цей час Еварист отримав негативний відгук на свою роботу від французького математика Симеона Пуассона. У своєму відгуку професор писав Галуа, що його «аргументація не досить ясна й не досить розгорнута для того, щоб ми могли судити про її ясність». Будучи видатним фахівцем, Пуассон займався прикладною математикою, і проблеми алгебри його не цікавили. Та й розібратися в стислому викладі було складно. Еварист важко переживав, що на його публікації ніхто не відгукнувся. У розпачі він почав підозрювати вчений світ у complot du silence — змові мовчання. Звідси глибока депресія, здоров’я сильно погіршилося, і його перевели до тюремної лікарні, а у квітні 1832 р. випустили на волю. Распай познайомив Галуа з дівчиною. Еварист закохався з першого погляду. Чи зустрічався він з нею, достеменно невідомо. Важливо інше. Через неї в нього виникла сварка з одним з республіканців. Метод вирішення був відомий — дуель. Участь у ній було question d’honneur — питанням честі. Достеменно невідомо, з ким стрілявся Галуа. Тривалий час дуель, що відбулася 30 травня, сприймалася як провокація влади. Зокрема, висувалися версії про те, що Еварист стрілявся через підкуплену поліцією повію, і що його вбивця був провокатором. Олександр Дюма писав у своїх мемуарах, що Галуа застрелив Пеше д’Ербенвіль, один із видатних діячів «Товариства друзів народу». З іншого боку, є підстави вважати, що Галуа застрелив його старий товариш Дюшатле. У будь-якому разі версію про провокацію слід відкинути, позаяк ані д’Ербенвіль, ані Дюшатле провокаторами не були. Якою була причина сварки — не відомо, однак політики в цій справі не було. Версія ж про поліцейську провокацію знадобилася лідерам республіканців для використання похорону Галуа для розпалення заворушень. Справді на його похорони 1 червня прийшло близько 2 тис. чоловік, але виступу не вийшло. Цього дня помер генерал Ламарк. У день його похорону, 3 червня 1832 р., вулиці Парижа вкрили барикади. Подвиги захисників барикади Сен-Мері описані в безсмертному творі Віктора Гюго «Знедолені», але серед них Евариста Галуа вже не було. Він був відомий за життя як затятий республіканець, а знайшов безсмертя як революціонер у математиці. Великим часто приділяється короткий вік. Коли він загинув, йому йшов лише 21-й рік.
У ніч перед дуеллю Еварист Галуа передчував свою загибель, тому поспішав наскільки можливо викласти свої думки й постарався впорядкувати свої папери. У листі своєму другові Огюсту Шевальє він просив показати його роботи німецьким математикам Карлу Якобі і Карлу Гауссу. Але їм роботи Галуа залишилися невідомими.
Коли Галуа було лише 16 років, він прочитав роботи норвезького математика Нільса Абеля, який довів, що формули розв’язання рівнянь п’ятого степеня в радикалах у принципі не існує. Основною заслугою Галуа є формулювання комплексу ідей, до яких він дійшов завдяки продовженню досліджень про можливість розв’язання в радикалах алгебраїчних рівнянь, які розпочав Лагранж, Абель і Гаусс. Для розв’язання такої складної задачі треба було розробити спеціальний апарат і впровадити в науковій реальності цілком нові поняття. Насамперед групи. З ним ми зіштовхуємося в операціях над числами. У результаті множення або додавання на множині цілих чисел ми отримуємо теж ціле число. Така операція називається груповою. До речі, на множині цілих чисел ділення не є груповою операцією, бо як наслідок такої дії ми можемо отримати дріб. Найбільшою заслугою Галуа є поширення поняття групи на об’єкти будь-якої природи. В усім відомому кубику Рубіка поворот шарів можна розглядати як групову операцію на множині станів (положень) шарів. За допомогою поняття групи доведено, що кубик завжди можна зібрати за кінцеве число операцій. Цей досить екзотичний приклад показує універсальність підходів групових методів. Від алгебри й кристалографії до теорії кодування і розважальних головоломок.
Використовуючи поняття групи, Галуа визначив необхідні й достатні умови можливості розв’язання алгебраїчного рівняння в радикалах. Вирішивши складну, але окрему задачу алгебри, він створив цілком новий математичний апарат, але, що ще важливіше, сформулював ідеї, реалізація яких не закінчилася й у наші часи.
Доля виявилася немилостивою до Галуа-республіканця, але була більш поблажливою до Галуа-математика. Його друг Огюст Шевальє надіслав папери загиблого французькому математику Жозефу Ліувіллю. Він розібрався в ході доказів і зрозумів величезне значення відкриття для алгебри. У журналі Journal de mathematiques et appliquees 1846 р. вперше були цілком опубліковані роботи Галуа. Але визнання прийшло пізніше, через 30 років.
Німецький математик Бернгард Ріман розробив свою геометрію теж без постулату про паралельність. Постало питання про зв’язок перетворень простору з новими геометріями та про їх кількість. У 70-х рр. XIX ст. німецький математик Фелікс Клейн висловив припущення, що кожна геометрія визначається своєю групою симетрій. Так було встановлено фундаментальний зв’язок між алгеброю, геометрією і властивостями простору. Тут проходила межа математики й починалася фізика.
Зв’язок між симетрією простору і законами збереження встановила німецький математик Еммі Нетер. Вона довела фундаментальну теорему математичної фізики, названу її ім’ям, що з однорідності простору й часу випливають закони збереження імпульсу та енергії. Геній Галуа, який створив теорію груп, дав у руки фізиків найпотужніший апарат вивчення властивостей матерії від квантової механіки до теорії відносності Ейнштейна. Істотне обмеження однорідного розподілу матерії у Всесвіті, що накладається на рівняння загальної теорії відносності, дало змогу російському вченому Олександрові Фрідману передбачити розширення Всесвіту. Апаратом його досліджень стала теорія груп Галуа.
Зазначеного цілком вистачило б, щоб ім’я Галуа, творця нової вищої алгебри, було вписане в історію математики золотими буквами. Але плодотворність ідей Галуа цим не обмежується. Без поняття групи, а далі поля й кільця неможливі кібернетика і теорія інформації. В їх основі лежить фундаментальний принцип симетрії, описуваний теорією груп. Особливо важливою вона виявилася для фахівців, які зазвичай не афішують приналежності саме до цієї професії. Йдеться про дещо специфічну науку — криптографію. Це грецьке слово означає тайнопис, а сама наука займається створенням кодів та їхнім дешифруванням. І не лише для лицарів плаща і кинджала, а й для всіх тих, кому необхідний захист від несанкціонованого доступу. Насамперед для банків. Теоретичною основою сучасної криптографії є алгебра, створена Галуа. І такий список застосування ідей французького генія математики можна продовжувати ще довго.
Галуа був революціонером у житті й революціонером у науці. Він заклав основи сучасної математики, на десятиліття випередив розвиток науки, його життя й наукова творчість були наповнені драматичними подіями. Він був Прометеєм. За кілька годин до своєї загибелі він освітив шлях, яким пішло кілька поколінь учених та інженерів. Йому мало було дано за життя, але дуже багато після смерті. Математика вічна. І в ній назавжди залишилася група Галуа і все те, що названо його ім’ям.
